الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

خطوة 3.3.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

خطوة 3.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

خطوة 3.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

خطوة 3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

خطوة 3.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

خطوة 3.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{y}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 - e^{y} = 2 x$

خطوة 3.4

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- e^{y} = 2 x - 5$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $- e^{y} = 2 x - 5$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $- e^{y} = 2 x - 5$ على $- 1$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم $e^{y}$ على $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (2 x)$ بالصيغة $- (2 x)$ .

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 3.5.3.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

خطوة 3.5.3.1.4

اقسِم $- 5$ على $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

خطوة 3.6

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

خطوة 3.7

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

خطوة 3.7.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

خطوة 3.7.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

خطوة 5.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.6

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{x}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

خطوة 5.2.3.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

خطوة 5.2.3.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

خطوة 5.2.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

خطوة 5.2.3.9

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 5 + e^{x} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

خطوة 5.2.4.2

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

خطوة 5.2.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

خطوة 5.2.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

خطوة 5.2.7

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (- 2 x + 5))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

خطوة 5.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

خطوة 5.3.3.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

خطوة 5.3.3.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

خطوة 5.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 + 2 x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

خطوة 5.3.4.1.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

خطوة 5.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$